Wiskunde B · Vwo
Exponentiële functies
Een exponentiële functie heeft de vorm N(t) = b · g^t, met b de beginwaarde (op t = 0) en g de groeifactor per tijdseenheid. Voor g > 1 is er sprake van exponentiële groei, voor 0 < g < 1 van exponentiële afname. Het kenmerk: per tijdseenheid wordt de hoeveelheid steeds met dezélfde factor vermenigvuldigd — niet met hetzelfde bedrag. Vergelijkingen met de onbekende in de exponent los je exact op door beide kanten te herschrijven naar dezelfde grondtal, of algemeen met een logaritme.
De standaardvorm
In N(t) = b · g^t lees je alles af wat je nodig hebt: N(0) = b · g^0 = b, dus b is de startwaarde. Elke stap van 1 in t vermenigvuldigt N met g. Na t stappen is de totale factor g^t. Vergelijk dat met lineaire groei (N = b + a·t), waar er per stap hetzélfde bedrag bijkomt: exponentiële groei begint vaak traag en explodeert daarna.
Groeifactor en groeipercentage
- Van percentage naar factor: +3% per jaar → g = 1,03; −20% per jaar → g = 0,80. Altijd: g = 1 + p/100.
- Van factor naar percentage: g = 1,15 betekent +15%; g = 0,93 betekent −7%.
- Andere tijdseenheid: is de groeifactor per jaar g, dan is die per maand g^(1/12). Andersom: per maand 1,02 → per jaar 1,02^12 ≈ 1,268 (dus +26,8%, niet +24%).
- Verdubbelingstijd: de tijd T waarvoor g^T = 2, dus T = log(2)/log(g).
Vergelijkingen oplossen met logaritmen
Staat de onbekende in de exponent en lukt herschrijven naar hetzelfde grondtal niet, neem dan van beide kanten de logaritme. Uit g^t = c volgt t = log(c)/log(g). Let op bij afname: log(g) is dan negatief, dus als je een óngelijkheid door log(g) deelt, klapt het ongelijkheidsteken om.
Voorbeeldopgaven
1Een bacteriekolonie telt om 9:00 uur 500 bacteriën en verdubbelt elke 3 uur. Stel een formule op voor N(t) met t in uren na 9:00, en bereken het aantal om 21:00 uur.
Bekijk de uitwerking
- Verdubbelen per 3 uur betekent groeifactor 2 per 3 uur, dus N(t) = 500 · 2^(t/3).
- Om 21:00 uur is t = 12, dus N(12) = 500 · 2^(12/3) = 500 · 2^4.
- 2^4 = 16, dus N(12) = 500 · 16 = 8000.
Antwoord: N(t) = 500 · 2^(t/3); om 21:00 uur zijn er 8000 bacteriën.
2Een auto van € 24.000 wordt elk jaar 15% minder waard. Na hoeveel jaar is de auto voor het eerst minder dan € 10.000 waard?
Bekijk de uitwerking
- Afname van 15% per jaar → groeifactor g = 0,85, dus W(t) = 24000 · 0,85^t.
- Los op: 24000 · 0,85^t < 10000 → 0,85^t < 10000/24000 = 5/12.
- Neem de log: t · log(0,85) < log(5/12). Omdat log(0,85) negatief is, klapt het teken om: t > log(5/12)/log(0,85).
- log(5/12)/log(0,85) ≈ (−0,3802)/(−0,0706) ≈ 5,39.
- t moet een geheel aantal jaren zijn: na 6 jaar is de waarde voor het eerst onder de € 10.000 (na 5 jaar: 24000 · 0,85^5 ≈ € 10.646).
Antwoord: Na 6 jaar (t > 5,39, dus het eerste hele jaar is jaar 6).
3Los exact op: 3 · 2^x = 96
Bekijk de uitwerking
- Deel beide kanten door 3: 2^x = 32.
- Herschrijf 32 als macht van 2: 32 = 2^5.
- Dus 2^x = 2^5, waaruit volgt x = 5. (Zelfde grondtal → exponenten gelijk; geen logaritme nodig.)
Antwoord: x = 5
Veelgemaakte fouten
- Bij 15% afname rekenen met factor 0,15 in plaats van 0,85 — de factor is wat er óverblijft.
- Groeifactor per maand en per jaar door elkaar halen: per jaar is g_maand^12, niet 12 · g_maand.
- Bij het delen van een ongelijkheid door log(g) met 0 < g < 1 het ongelijkheidsteken niet omklappen.
- Afronden op t ≈ 5,39 en '5 jaar' antwoorden terwijl de vraag naar het eerste hele jaar ónder de grens vraagt (dat is jaar 6).
Richting het eindexamen
Op het centraal examen komen exponentiële functies vaak terug in contextopgaven: groeimodellen, halfwaardetijd en het omrekenen van groeifactoren tussen tijdseenheden. Oefen daarom met echte examenopgaven — hieronder vind je het volledige archief wiskunde B — en laat de leercoach je uitwerking stap voor stap controleren.
Je volgende stap
Bekijk hoe deze leerroute wordt ontwikkeld
De inhoudspagina is publiek; de begeleide oefenroute in Nexus is nog niet algemeen vrijgegeven.